混合线性模型

定义

混合线性模型是一种方差分量模型，其特点为既包含固定效应（组内方差），又包含随机效应（组内方差）。总体方差 = 组内方差（level 1） + 组间方差（level 2）

普通的线性模型自变量为固定效应。与普通的线性模型相比，混合线性模型引入了随机效应，将样本的非独立性性质（组间差异）纳入了考量。

假设

传统线性模型对因变量Y来说，有如下假设：

• 正态性，Y来自正态分布
  • Y不能为分类反应变量，如得病与否、死亡与否
• 独立性，Y的不同观测值之间相关性为0
  • Y不能有群体特性，比如同一疾病的患者可能具有相似性，不能和其他疾病患者放在一起回归
• 方差齐性，各个Y的方差相等
  • 当自变量具有随机误差时，会传递给Y，使其不满足方差齐性

混合线性模型只保留了正态性，而简化了其他两个假设

适用情况：

混合线性模型很适合于分析研究对象不同时间点上结局的变化轨迹

• 样本量：level2组的数量要足够：
  • 被试数 >= 30
  • 被试数 * 人均观测数 >= 1600
• ICC（组内相关系数）：ICC >= 0.059建议使用

整体流程：

模型

混合线性模型的一般形式为：

因变量～ 1 + 固定因子 + （ 1 + 随机效应｜随机因子）

其中：

• 固定因子：感兴趣，要考察的变量
• 固定效应：固定因子产生的效应
• 随机因子：要考虑的组间差别，在level1上的分组，
  • 例：认知实验中的被试、项目，社会调查中的城市、省份等
• 随机效应：随机因子产生的效应，上式括号内的部分为随机效应
• 随机截距：随机因子的不同组在因变量分布上的差异，1表示不同个体的因变量分布不同，
  • 例：有的被试反应快，有的被试反应慢
• 随机斜率：随机因子的不同组在因变量和自变量关系上的差异，
  • 例：有的被试对这个药物敏感，有的被试对这个药物迟钝

对于某一个指标value：

• group，stage，Random为其固定效应，并且考虑了效应之间的交互作用，
• patientid为随机效应
  • （1｜patientid）中的1为我们对截距的假设，假设每个patientid都有不同的截距

全模型 vs 零模型：

• 零模型：

  • 定义：只包含随机截距

• 全模型：

  • 定义：每一个随机因子包含尽可能多的随机斜率和随机截距$$ Y\sim AB + (1+AB|Subject) + (1+A*B | Item)$$
    • 固定因子：A、B和AB的交互作用
    • 随机因子：被试（Subject）和项目（Item）
    • 随机斜率：要考察的固定效应的一部分
  • 潜在问题：
    • 无法收敛
    • 畸形协方差矩阵
  • 解决办法：
    • 从全模型开始，逐渐剔除不合适的随机斜率
    • 从零模型开始，逐渐加上随机效应

主效应、交互作用、随机效应与固定效应等等

随机效应

• 随机效应存在的意义在于，它可以使我们为不同的个体加入不同的基线值，用来平衡掉个体因素对实验结果的影响。

固定效应

• 在R的lmer函数中，用summary(Model)可以得到对固定效应的分析，其本质上是t检验，在这里表达的含义是，这个自变量是否对因变量有显著影响：

主效应">主效应

• 主效应看的是不考虑其他因素的影响，只看某因素不同水平之间的平均变化，在有交互项的情况下，自变量在调节变量不同水平下的均值，比如group:sequence，看的是(gourp=1, sequence=1)-(group=1, sequence=0)与(gourp=0, sequence=1)-(group=0, sequence=0)之间的差异
• 如果只有两种水平（A=0,A=1)，且因子为连续变量而非因子变量，F检验和上述的t检验结果应该相同（p值相同）
• 因子变量会用虚拟变量来代替因子：
  • 例：因子A有两种水平，BiWalk = 0， QuaWalk = 1（R里的默认coding方式，treatment coding，在treatment coding下，两因素的交互作用回归系数等于真实的效应，主效应的回归系数为简单主效应的系数)
  • 对有K水平的因子，会有k-1个对比变量，可以写成一个k*（k-1）的矩阵

事后检验：

• 总体流程为：

• 如果主效应显著，常用的事后检验为emmeans package：

• 如果交互作用显著，常用简单（主）效应分析检验为：

  • 图为A的水平上不同B的主效应

• 如果简单主效应显著，常用的事后检验为：

  • 输出B的不同水平下，A的两两对比（因为是pairwise，如果是treatment，则是以A的某一水平为基线）

参考资料

• 讲座 || 线性混合模型及其分析流程_哔哩哔哩_bilibili
• JAMA：应用混合模型分析重复测量资料@MedSci
• 统计学中的「固定效应 vs. 随机效应」 - 知乎
• 差之毫厘，谬以千里：辨析「固定效应、主效应、简单效应」 - 知乎
• “emmeans” package - 简书
• Site Unreachable
• How to capitalize on a priori contrasts in linear mixed model: A tutorial

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